Wald–Wolfowitz 经典游程检验

提出人：亚伯拉罕・瓦尔德（Abraham Wald，1902–1950）与雅各布・沃尔福维茨（Jacob Wolfowitz，1910–1981）

属于非参数随机性检验

历史信息

1. 1940 年，两人联合发表论文：On a test whether two samples are from the same population（《检验两个样本是否来自同一总体》），发表在《Annals of Mathematical Statistics》，最初版本是两样本游程检验，用来判断两组样本是否来自同一总体。
2. 后来这个理论被扩展，衍生出单样本随机性游程检验（也就是 Minitab 运行图里面，按中位数划分 +/-、检验序列是否随机的那一个），现在大家俗称的 Wald–Wolfowitz 经典游程检验，就是这个。
3. 补充：1943 年 Swed 和 Eisenhart 算出了大量游程检验临界值表，让这个方法方便工程上实际使用（不是提出检验，是完善查表工具）。

一、基础定义

Wald–Wolfowitz 游程检验（瓦尔德‑沃尔福维茨游程检验），属于非参数随机性检验。 1940 年由亚伯拉罕・瓦尔德（Abraham Wald）与雅各布・沃尔福维茨（Jacob Wolfowitz）联合提出。

原始目的：两样本检验，判断两组样本是否来自同一总体； 后续拓展应用：单样本时序随机性检验（就是 Minitab 运行图里中位数分割的那套游程检验）。

核心概念：游程（Run）：有序序列中，连续相同符号的一段。

二、两种应用场景

场景 1：原始版本【两样本 Wald–Wolfowitz 游程检验】

用途：检验两个独立样本是否来自同一个总体（分布相同）。 步骤：

1. 将样本 A、样本 B 全部混合，从小到大排序；
2. 标记每个数值属于 A 还是 B，形成二分类序列（A/B,A,A/B……）；
3. 统计游程总数量；
4. 假设检验： \(H_0\)：两组来自同一总体 → 序列排列随机，游程数量适中 \(H_1\)：两组来自不同总体 → 游程会偏少

如果两组分布差异大，A 的值会集中在一侧，B 集中在另一侧，游程很少，拒绝原假设。

场景 2：拓展版本【单样本时序随机性检验（Minitab 运行图使用）】

用途：检验按时间顺序采集的一组连续数据是否随机（工程上常用来初步判断时序独立性）。 步骤：

1. 取这组时序数据的中位数作为分割线；
2. 大于中位数记+，小于中位数记−；等于中位数的数据剔除，不参与计数；
3. 得到+、−构成的二分类有序序列；
4. 统计游程总数；
5. 判定逻辑：

• 游程太少：连续成片高于 / 低于中位数 → 聚类
• 游程太多：频繁穿越中位数线，高低来回交替 → 混合
• 显著性水平 α 一般取 0.05
  • \(P<0.05\)，拒绝\(H_0\)：序列非随机，时序不独立
  • \(P>0.05\)，不能拒绝\(H_0\)：未检出聚类、混合这类非随机模式（不能直接证明独立）

三、原理简述

在序列随机的前提下，可以推导游程总数的抽样分布。 如果游程数量明显偏离期望游程数，则说明序列不是随机排列。 大样本时可以使用正态近似；小样本使用游程临界值表（Swed & Eisenhart，1943）。

四、适用条件

1. 观测是有序序列（时序、排序后的样本）；
2. 变量为连续型数据；
3. 检验只识别聚类、混合两类非随机模式；

❗注意：无法识别趋势、振动，趋势和振动由另一套升降游程检验负责。

五、优缺点

✅优点

1. 非参数检验，不要求数据服从正态分布；
2. 中位数分割，抗离群值；
3. 计算简单，适合 SPC、六西格玛工程现场筛查。

❌局限性

1. 仅识别聚类、混合，对长周期波动、滞后自相关检出能力弱；
2. 假设检验逻辑：只能 “检出非随机”，不能证明序列独立；
3. 原始理论基于二分类符号数量基本均衡（中位数分割天然满足）；如果换成均值等其他阈值，不再是标准 Wald–Wolfowitz 游程检验。