Pearson 卡方拟合优度检验

Karl Pearson 在 1900 发表论文，提出卡方拟合优度检验，这是世界上第一个正式的拟合优度检验，标志拟合优度检验正式诞生。 核心思想： 把数据分组，对比观测频数（实际数）和理论期望频数（模型预测数），构造卡方统计量，衡量二者差距；差距大到一定程度，就拒绝这个分布模型。

逻辑是，O 和 E 越接近，$chi^2$越小 → 数据和理论分布越吻合

假设设定

$H_0$：样本服从该指定理论分布

$H_1$：样本不服从该理论分布

判定规则$(alpha = 0.05)$

• $P > 0.05$：不能拒绝原假设，没有足够证据否定该分布
• $P < 0.05$：拒绝$H_0$，数据不符合这个理论分布

自由度 $df = k – 1-m$

其中 $k$ 是分组组数，$m$ 是从样本数据中估计出来的参数个数

1900 皮尔逊原始论文漏掉了减去 m；1922–1924 R.A. Fisher 指出这个错误，修正自由度，完善这套理论。。

实施步骤

1. 设定原假设：数据服从某理论分布（如泊松、正态）
2. 将全部数据划分成k个区间（组）
3. 统计每组实际观测频数O
4. 根据理论分布，计算每组的期望频数E
5. 计算卡方统计量
6. 查卡方分布表或者软件求 P 值，做出判断

适用条件

1. 观测之间相互独立；
2. 样本是随机抽样；
3. 期望频数要求：
   • 标准要求：每组期望频数 E ≥5
   • 宽松版：E≥1，少于 5 的组数不能超过总组数 20%
   如果 E 太小，卡方近似效果很差，需要合并相邻组。

优缺点

✅优点

1. 通用拟合优度方法，离散分布尤其好用（二项、泊松）；
2. 原理直观，容易理解，计算简单；
3. 可以检验任意指定理论分布。

❌缺点

1. 必须分组，分组会丢失原始数据信息；连续数据做正态性检验时，不如 A-D 检验；
2. 分组边界人为选择，分组方式不同，结论可能变；
3. 对尾部数据不敏感；
4. 有期望频数的限制，小样本不好用。

工程实操：Minitab 里很少用卡方拟合优度做正态性检验；检验正态优先 A-D。卡方拟合优度更多用于离散分布（泊松、二项）。