Kolmogorov–Smirnov（K-S）检验

1933-1948年 Kolmogorov–Smirnov（K-S）检验

1. 不需要分组，直接对比两条累积分布曲线：一条是样本实际累积曲线（经验分布 ECDF），一条是理论分布累积曲线；找两条曲线之间最大垂直距离 D，距离越大，样本越不像这个理论分布

① 单样本 K-S（拟合优度检验，六西格玛常用，1933 年柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）提出单样本版本）

拿一组样本，和某个已知理论分布（正态、均匀、指数等）做对比

• $H_0$：样本服从该理论分布
• $H_1$：样本不服从该理论分布

⚠️原始 K-S 有个大坑：要求理论分布的参数（均值、标准差）必须事先已知，不能从样本估算。 如果均值标准差是从样本算出来的（做正态性检验几乎都是这种场景），要用Lilliefors 修正版 K-S，否则 P 值不准。

② 双样本 K-S 检验（1948 年斯米尔诺夫（Smirnov）完善双样本版本）

比较两组样本，不指定理论分布，只判断两组数据是不是来自同一个连续总体

• $H_0$：两组数据来自同一分布
• $H_1$：两组分布不一样 常用于前后对比、A/B 试验，能同时识别均值、方差、分布形状差异，非参数检验

核心统计量

实操步骤

1. 样本从小到大排序
2. 计算每个数据点对应的经验累积概率 (F_n)
3. 根据理论分布，算出同一点的理论累积概率 (F_0)
4. 逐个计算差值，找到最大绝对值 D
5. 查 K-S 临界值表 / 软件输出 P 值，下结论