T分布与标准正态分布之间

从 t 分布到正态分布：一个自由度的旅程

t(df) = Z ÷ √(χ²(df)/df)。df 越大，分母越稳定，t 越接近标准正态。 橙色曲线 = t(df)， 灰色虚线 = N(0,1)， 橙色阴影 = t 比正态多出的尾部质量。

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三个值得观察的现象：

1. 缺口在两端：t 分布比正态”矮、胖、尾巴厚”——橙色阴影集中在两侧尾部，中间区域反而是正态略高。
2. df=1 差距惊人：P(|T|>2)=29.5%，而正态只有 4.6%——六倍多的尾部概率。df=1 时均值方差都不存在，一切”常规直觉”失效。
3. df≥30 实战上已”转正”：30 以后两曲线几乎重合，P(|T|>2) 从 29.5%→4.8%，向 4.55% 收敛——这就是统计教材”大样本用 z 近似”的底气。
4. 构造公式是灵魂：t = Z/√(χ²/df)。分母的波动是厚尾的来源；df 增大时分母趋于常数，t 自然退化为 Z。