- 三大抽样分布之一，是 F 分布的底层基础；
- Friedrich Robert Helmert（赫尔默特），1863 年最早推导得到该分布的数学形式；
- Karl Pearson（卡尔・皮尔逊），1900 年建立皮尔逊卡方拟合优度检验，把卡方分布发扬光大，广泛用于假设检验，现在大家提到卡方检验，主要就是他的贡献。
卡方分布：自由度可调
χ²(k)：k 个相互独立的标准正态变量平方后求和。 艳红 = 右尾 α（否定域）， 青色曲线 = χ²(k) 密度， 红色虚线 = 临界值 χ²α。
三个值得观察的现象：
- k 小时右偏，k 大时趋近正态：k=1 时曲线从无穷大陡降；k=5 明显右偏；k=50 时几乎就是正态 N(50, 100)（均值 k，方差 2k）。
- 众数在 k−2：把滑块拖过 k=2，曲线的峰正好停在 k−2 的位置（k=1,2 时峰在原点或单调下降）。
- 卡方检验的判定：拟合优度检验、列联表独立性检验都是”统计量越大越异常”——计算值落入右尾否定域就拒绝原假设。
- 与其他分布的关系：k 个标准正态平方和 → χ²；χ²/df 的比值 → F；χ²(1) 开方 → |Z|。它是 t、F、正态之间转换的枢纽。
数学定义
若相互独立，且全部服从标准正态分布 ，则它们的平方和：
这个随机变量服从自由度为 df 的卡方分布，记作。
自由度 df：独立标准正态变量的个数。
和另外两大抽样分布的关联
- 卡方 → F 分布：两个独立卡方除以各自自由度，比值就是 F 分布：
2. 卡方 → t 分布：，Z 是标准正态，Z 与卡方相互独立。