贝塞尔校正（Bessel’s Correction）

用样本估计总体方差时，分母用 n−1 而不是 n，目的是让s²成为总体方差 σ²的无偏估计。

s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2

因为我们不知道总体均值 μ，只能用样本均值 x̄ 代替。而 x̄ 本身就是从这批数据算出来的，数据点围绕 x̄ 天然比围绕 μ”挤”得更紧，导致离差平方和平均而言只相当于 n−1 个方差。除以 n−1 而非 n，可以补偿这个低估，使样本方差 s² 成为总体方差 σ² 的无偏估计。

从自由度角度看：n 个离差之和恒等于 0，真正独立的离差只有 n−1 个，故分母取 n−1。

为什么分母用 n 会偏小？

关键在于：你不知道真实的总体均值 μ ，只能用样本均值 xˉ 代替，偏差来自两个独立的效果：

第一步：用真实均值算离差

如果用真实的 μ 计算，离差平方的期望恰好是方差：

E\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i – \mu)^2\right] = \sigma^2

第二步：换成样本均值，损失了一个”自由度”

数学上可以证明（见下面的推导），用 xˉ 代替 μ 后：

E\left[\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2\right] = (n-1)\sigma^2

也就是说，离差平方和平均而言只等于 n−1 个方差，而不是 n 个。所以：

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