- 也称 高斯分布 Gaussian distribution或者钟形分布
- 三大抽样分布（卡方、t、F）全部建立在正态分布的基础之上，是统计学最重要的连续分布
1733年，棣莫弗在研究二项分布（抛硬币）时发现：当试验次数 n 很大，二项分布的概率直方图，会趋近一条光滑的钟形曲线。 他推导出了这个曲线的近似公式。 这是正态函数的数学源头，但当时棣莫弗本人并没有意识到这是通用的 “误差分布”，只是当作二项式的近似，所以很长时间被埋没。
1774 年（当时天文学蓬勃发展：观测行星位置，每次测量都会有误差。天文学家想找：测量误差服从什么分布？）拉普拉斯最早提出误差分布猜想，一开始选的是双指数分布（拉普拉斯分布），不是正态。
1809 年，高斯发表《天体运动理论》，研究谷神星轨道测算。他面临的问题：多次天文观测，数据有误差，怎么估计天体真实位置？ 高斯假设：最合理的真实值，能让所有测量误差的联合概率最大（极大似然思想）。 在这个假设下，推导出误差必须服从这个钟形分布，所以当时它叫误差分布（law of errors）。
1812 年，在《概率分析理论》中，拉普拉斯证明，大量独立微小误差叠加，总和会趋向钟形分布， 也就是中心极限定理的早期版本。 但他没有把这个分布定型，也没有大规模应用。
严格来说：棣莫弗先得到公式，高斯把它建立在误差理论上，让它大火。高斯的贡献：
- 完整建立这套分布的数学形式；
- 证明最小二乘法，和正态误差是配套的；
- 天文学界迅速采纳，用来处理观测数据。
1870 年代，高尔顿做了著名的豌豆种子实验：测量豌豆子代大小，发现生物性状也符合这条钟形曲线，他发明了高尔顿钉板（梅花机），直观演示：大量微小随机因素叠加，结果自动呈现钟形。高尔顿认为：这种分布是自然界 “正常、标准” 的分布，于是命名 Normal distribution（正态分布）。
20 世纪，皮尔逊（Karl Pearson）完善分布矩估计，系统研究各类分布，把正态作为基准分布；休哈特利用正态分布 3σ 原理，建立控制限；之后二战、战后质量运动，戴明、朱兰把这套带到制造业；六西格玛体系直接继承正态分布、3σ/6σ、过程能力 Cpk。
正态分布：均值、标准差、检验方式可调（固定坐标系）
坐标轴固定（x: −12 ~ 12，y: 0 ~ 0.45）。可切换双尾 / 右尾 / 左尾三种否定域—— 艳红 = 否定域， 深蓝曲线 = N(μ, σ²) 密度， 红色虚线 = 临界值。
三个值得观察的现象：
- 双尾 vs 单尾的临界值差：α=5% 时，双尾每侧各 2.5%，临界值 ±1.96；单尾整侧 5%，临界值只需 1.645——单尾检验”更容易显著”，所以事前必须确定方向，不能看到数据后再挑。
- μ 只平移：拖 μ，曲线整体左右搬家，形状一丝不变——所有正态曲线都是同一条钟形的平移副本。
- σ 只伸缩：σ 调大曲线变矮变胖（总面积恒为 1）；σ=5 时几乎贴着 x 轴，此时 ±3σ 已铺满整个视野。
- 标准化：任何 N(μ, σ²) 做 z = (x−μ)/σ 变换后都是 N(0,1)——统计表只需要一张标准正态表的原因。